Perličky z geometrie 1: Měsíčky

Geometrie je významnou součástí matematiky, která se vyvíjela ruku v ruce s rozvojem lidské kultury a poznání. Od skromných počátků ve službách egyptských a babylonských stavitelů, přes bouřlivý rozvoj v době starořeckých států, pokroky arabských a renesančních vzdělanců a umělců až k propracovaným metodám francouzských geometrů novověku a dále až k dnešku a dnešní pokročilé počítačové grafice.

My se v několika následujících článcích ponoříme do geometrie trochu hlouběji a ukážeme si různé zvláštnosti a zajímavosti, které se lidstvu během oné tisícileté historie geometrie odhalily.  Začneme u jednoduchých konstrukcí známých stovky let, a přes ukázky využití geometrie v architektuře se dostaneme až ke složitějším křivkám, které se dají narýsovat jen přibližně a jejich přesný popis vyžaduje algebru. Na samém konci si ještě ukážeme některá využití geometrie v dnešní technice.

Začneme tím, že se podíváme na dvě příbuzné konstrukce pocházející od dvou chytrých pánů, jednoho ze starověkého Řecka a druhého ze středověkého muslimského světa.

Hippokratův měsíček

Autorem starší konstrukce je Hippokrates z Chiu, původně řecký obchodník, který se později věnoval v Athénách matematice a geometrii. Hippokrates přišel s tvrzením, že obsah zelené plochy v obrázku výše je stejný jako obsah fialové plochy.

K tomu, abychom si to mohli dokázat, je třeba zjistit, jak obě plochy vznikly. 

Zelená plocha je jednoduše pravoúhlý trojúhelník, jehož obě odvěsny jsou stejně velké. Fialová plocha je ohraničená jednou půlkružnicí a jednou čtvrtkružnicí. Odvěsna trojúhelníku tvoří průměr jedné půlkružnice, poloměr čtvrtkružnice je tvořen jednou z přepon.

Obsah trojúhelníku se rovná součinu obou odvěsen dělenému dvěma, tedy r²/2 (písmenem r si označíme odvěsny). Obsah měsíčku je roven obsahu celého půlkruhu nad přeponou mínus obsahu nevybarvené plochy. Obsah nevybarvené plochy je roven polovině obsahu velké půlkružnice mínus obsah trojúhelníku. Z Pythagorovy věty ještě zjistíme, že délka odvěsny je √2-násobek délky odvěsny a můžeme si ukázat celý výpočet důkazu.

Obsah trojúhelníku si označíme S, obsah měsíčku B a obsah nevybarvené části mezi nimi C. Obsah půlkružnice nad přeponou se rovná B+C, zatímco obsah čtvrtkružnice na odvěsnou S+C.

Obsah čtvrtkružnice je:

obsah půlkružnice:

S+C se tedy rovná B+C a když odečteme od obou nevybarvenou část, vyplyne nám, že obsah měsíčku je stejný jako obsah trojúhelníka.

Alhazenovy měsíčky

Příbuznou konstrukci s důkazem objevil arabský učenec Al-Hajtham (latinsky zvaný Alhazen). Měsíčky jsou tentokrát dva, avšak tvrzení zůstává - obsah fialové plochy je stejný jako obsah zelené plochy.

Opět se nejprve podíváme, jak plochy vznikly.

Zelená plocha je opět pravoúhlý trojúhelník - jeho odvěsny však tentokrát nemusí být stejně dlouhé. Oba měsíčky jsou z jedné hrany ohraničené půlkružnicemi na jednotlivými odvěsnami, z druhé straně půlkružnicí nad přeponou, která je zároveň kružnicí opsanou celému trojúhelníku

Obsah trojúhelníku S se rovná ab/2, obsah půlkruhů nad odvěsnami: 

Obsah půlkružnice nad přeponou je

Jak vidíme z obrázku, abychom dostali obsah měsíčků M, stačí nám odečíst od obsahu S+A+B obsah C. Tedy:

Z Pythagorovy věty víme, že a² + b² = c², takže a² + b² - c² = 0. Tudíž vidíme, že obsah měsíčků M= ab/2, což je stejný obsah jako má trojúhelník.

A to se mělo dokázat. Quod erat demostrandum.

Napsal: Heliodor